Choď na obsah Choď na menu
 


Komplexné číslo znázornené v Gaussovej rovine nás priam vyzýva, aby sme naň použili goniometrický tvar:

z = |z| (cos(uhol) + i.sin(uhol))

....pre z=1 (jednotkovú kružnicu) potom platí:

z = cos(uhol) + i.sin(uhol)

Deriváciou toho celého, podľa uhla získame:

dz / d(uhol) = d( cos(uhol) + i.sin(uhol) ) / d(uhol)
dz / d(uhol) = -sin(uhol) + i.cos(uhol)

Teraz sa trošku zahráme: Vieme, že -1=i.i a preto si vynútime pôvodnú podobu vzťahu, pričom nám pred zátvorkou pribudne jedno "i". -Čiže takto:

dz / d(uhol) = -1.sin(uhol) + i.cos(uhol)
dz / d(uhol) = i.i.sin(uhol) + i.cos(uhol)
dz / d(uhol) = i (i.sin(uhol) + cos(uhol))

Hento "i" od kosínusu sme vyrazili von pred zátvorku; a tamtú "mínus jednotku" sme pred sínusom rozdelili na i.i. ...Tak. Teraz sa to pekne otočilo do dobrej podoby. Aby to však bolo jasnejšie vidieť, uvediem to znovu - len tomu ešte prehodíme sčítance v zátvorke, aby sa to viac podobalo pôvodnému:

dz / d(uhol) = i (cos(uhol) + i.sin(uhol))

čo je to isté, ako:

dz / d(uhol) = i . z

lebo z = cos(uhol) + i.sin(uhol) (...ako to vidíme v úvode...)

Teraz znovu "zamiešame karty" a poprehadzujeme trochu členy (...samozrejme len vrámci pravidiel matematiky), aby sme si pripravili "mäso na pečenie":

dz / z = i . d(uhol)

V tejto podobe to už pekne upečieme. (...tj. - zintegrujeme  ).

Takže:

Integrál ( dz / z ) = Integrál ( i . d(uhol) )

Avšak "i" je konštanta, čiže letí pred integrál:

Integrál ( 1 / z . dz) = i . Integrál d(uhol)

....teraz vyriešime integrál:

ln z = i . uhol

zbavíme sa logaritmu:

z = e^(i.(uhol))

...a je to....

Avšak z úvodu (ako som už hovoril) vieme, že:
z = cos(uhol) + i.sin(uhol)
....preto miesto "z" dosadíme tú pravú stranu:

e^(i.(uhol)) = cos(uhol) + i.sin(uhol)

...a máme to v celej kráse...

No a nakoniec pre uhol=pi (...tj. 3,14159265...atď...), dostávame:

e^(i.pi) = cos(pi) + i.sin(pi)

e^(i.pi) = -1 + i.0

e^(i.pi) = -1